Lyapunov稳定

李雅普诺夫稳定性理论完整教程

一、引言：稳定性的重要性

控制系统中，由于外部扰动和内部参数变化的存在，系统的状态会偏离预设轨迹。系统的稳定性是其正常工作的基本前提，即系统在受到扰动后能够自行恢复到平衡状态或保持在平衡点附近。

李雅普诺夫稳定性理论由俄国数学家亚历山大·李雅普诺夫于1892年提出，是现代控制理论的基石。该理论分为两大类：

• 间接法（第一方法）：通过线性化模型分析稳定性；
• 直接法（第二方法）：通过构造能量函数直接判断稳定性。

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二、李雅普诺夫稳定性的定义

考虑非线性系统：

$$\dot{x} = f(x, t)$$

设 $x(t)$ 是系统在初始条件 $x(t_0) = x_0$ 下的解。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta(\varepsilon) > 0$，使得当初始状态 $\tilde{x}_0$ 满足 $\| \tilde{x}_0 - x_0 \| < \delta$ 时，系统的解 $\tilde{x}(t)$ 对所有 $t > t_0$ 都满足：

$$\| \tilde{x}(t) - x(t) \| < \varepsilon$$

则称解 $x(t)$ 是稳定的。否则，称为不稳定的。

• 大范围稳定：若 $\delta$ 可以任意大，即从任意初始状态出发，系统都稳定；
• 渐近稳定：若系统稳定，且存在 $\delta$ 使得 $\tilde{x}(t) \to x(t)$；
• 全局渐近稳定：若系统在整个状态空间内都是渐近稳定的。

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三、李雅普诺夫间接法（第一方法）

基本思想

通过系统在平衡点处的线性化模型判断其局部稳定性。

步骤

1. 求平衡点 $x_e$：解 $f(x_e) = 0$；
2. 计算雅可比矩阵：$$A = \left. \frac{\partial f}{\partial x^T} \right|_{x = x_e}$$
3. 分析线性化系统 $\dot{y} = A y$（其中 $y = x - x_e$）；
4. 根据 $A$ 的特征值判断稳定性：
   • 所有特征值实部为负 ⇒ 渐近稳定；
   • 存在特征值实部为正 ⇒ 不稳定；
   • 存在实部为零的特征值 ⇒ 无法判断（需进一步分析非线性项）。

例题分析

例题1： 判断系统在原点处的稳定性

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \cos x_1 \\ \dot{x}_2 = -\sin x_1 - x_2 \end{cases}$$

解：

1. 验证原点是平衡点
2. 计算雅可比矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} -x_2 \sin x_1 & \cos x_1 \\ -\cos x_1 & -1 \end{bmatrix}_{x=0} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$$

3. 特征值为 $-\frac{1}{2} \pm j\frac{\sqrt{3}}{2}$，实部均为负
4. 结论： 原点是渐近稳定平衡点

优缺点

• 计算简便，适合快速分析局部稳定性；
• 仅适用于局部稳定性分析，对临界情况无效。

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四、李雅普诺夫直接法（第二方法）

基本思想

构造一个标量函数 $V(x)$（称为李雅普诺夫函数），通过分析 $V(x)$ 及其沿系统轨迹的导数 $\dot{V}(x)$ 来判断稳定性。

标量函数的定号性

• 正定：$V(0) = 0$，且 $V(x) > 0 \ \forall x \neq 0$；
• 半正定：$V(x) \geq 0$；
• 负定：$-V(x)$ 正定；
• 半负定：$-V(x)$ 半正定；
• 不定：无固定符号。

稳定性判据

1. 稳定：$V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 半负定；
2. 渐近稳定：$V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 负定；
3. 全局渐近稳定：满足渐近稳定，且 $V(x)$ 径向无界；
4. 不稳定：$V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 正定。

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五、李雅普诺夫函数的构造方法与实例

1. 二次型函数法（线性与轻度非线性系统）

例题2： 线性系统分析

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} x$$

解法1： 取 $V(x) = x_1^2 + x_2^2 > 0$

$$\dot{V}(x) = 2x_1\dot{x}_1 + 2x_2\dot{x}_2 = 2x_1x_2 + 2x_2(-x_1 - x_2) = -2x_2^2 \leq 0$$

半负定，需进一步验证：当 $\dot{V}(x) = 0$ 时，$x_2 = 0$，代入原方程得 $x_1 = 0$，故除原点外 $\dot{V}(x)$ 不恒为零 ⇒ 渐近稳定

解法2： 取 $V(x) = 1.5x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = x^T \begin{bmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{bmatrix} x > 0$

$$\dot{V}(x) = -x_1^2 - x_2^2 < 0$$

负定 ⇒ 全局渐近稳定

结论： 同一系统可构造不同的李雅普诺夫函数，得到相同结论但证明难度不同。

例题3： 非线性系统分析

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -x_1^3 - 4x_2 \\ \dot{x}_2 = 3x_1 - 7x_2 \end{cases}$$

构造： 取 $V(x) = 3x_1^2 + 4x_2^2 > 0$

$$\dot{V}(x) = 6x_1(-x_1^3 - 4x_2) + 8x_2(3x_1 - 7x_2) = -6x_1^4 - 56x_2^2 < 0$$

负定，且当 $\|x\| \to \infty$ 时 $V(x) \to \infty$ ⇒ 全局渐近稳定

技巧： 对于含高阶项的非线性系统，选择适当的二次型函数可消去交叉项。

2. 克拉索夫斯基方法

适用系统： $\dot{x} = f(x)$，其中 $f(0) = 0$

方法：

• 构造 $V(x) = f^T(x) P f(x)$，$P > 0$；
• 若 $F^T(x) + F(x)$ 负定（其中 $F(x) = \frac{\partial f}{\partial x^T}$），则原点渐近稳定；
• 若 $\|x\| \to \infty$ 时 $\|f(x)\| \to \infty$，则为全局渐近稳定。

例题4：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -x_1 + x_1x_2 \\ \dot{x}_2 = 0.5x_1^2 - x_2 \end{cases}$$

构造：

1. 计算雅可比矩阵：

$$F(x) = \begin{bmatrix} x_2 - 1 & x_1 \\ x_1 & -1 \end{bmatrix}$$

2. 分析 $F^T(x) + F(x)$ 的定号性：

• 顺序主子式：$\Delta_1 = x_2 - 1$，$\Delta_2 = 1 - x_2 - x_1^2$
• 在区域 $x_2 < 1 - x_1^2$ 内，$\Delta_1 < 0$，$\Delta_2 > 0$ ⇒ 负定

结论： 原点在该区域内是渐近稳定的

3. 变量梯度法（Schultz-Gibson）

步骤：

• 假设 $\nabla V = [\nabla_1, \dots, \nabla_n]^T$；
• 通过旋度条件 $\frac{\partial \nabla_i}{\partial x_j} = \frac{\partial \nabla_j}{\partial x_i}$ 确定系数；
• 沿路径积分得 $V(x)$；
• 验证 $V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 负定。

例题5：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -x_1 + 2x_1^2x_2 \\ \dot{x}_2 = -x_2 \end{cases}$$

构造步骤：

1. 设梯度向量：

$$\nabla V = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{bmatrix}$$

2. 由旋度条件得 $a_{12} = a_{21}$

3. 取 $a_{12} = a_{21} = 0$，$a_{11} = a_{22} = 1$

4. 计算：

$$\dot{V}(x) = -x_1^2(1 - 2x_1x_2) - x_2^2$$

在 $1 - 2x_1x_2 > 0$ 区域内负定

5. 积分得：

$$V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) > 0$$

结论： 原点在局部区域内是渐近稳定的

4. 偶函数法

适用系统： 具有对称结构的系统

方法：

• 构造 $V(x) = \sum a_i(x_i)$，其中 $a_i(x_i)$ 是偶正定函数；
• 利用奇偶性简化 $\dot{V}(x)$ 的符号判断。

例题6：

$$\begin{cases} \dot{x}_1 = -\frac{2x_1}{(1 + x_1^2)^2} + 2x_2 \\ \dot{x}_2 = -\frac{2x_1 + 2x_2}{(1 + x_1^2)^2} \end{cases}$$

构造：

1. 设 $V(x) = a(x_1) + b(x_2)$，其中 $a(x_1), b(x_2)$ 为偶函数

2. 取：

$$\frac{\partial a}{\partial x_1} = \frac{2x_1}{(1 + x_1^2)^2}, \quad \frac{\partial b}{\partial x_2} = 2x_2$$

3. 积分得：

$$a(x_1) = \frac{x_1^2}{1 + x_1^2}, \quad b(x_2) = x_2^2$$

4. 最终：

$$V(x) = \frac{x_1^2}{1 + x_1^2} + x_2^2 > 0$$ $$\dot{V}(x) = -\frac{4x_1^2}{(1 + x_1^2)^4} - \frac{4x_2^2}{(1 + x_1^2)^2} < 0$$

结论： 原点渐近稳定（非全局）

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六、线性系统的稳定性分析

线性定常系统：$\dot{x} = Ax$

• 渐近稳定 ⇔ $A$ 的所有特征值实部为负；
• 稳定 ⇔ 所有特征值实部非正，且虚轴上的特征值对应一阶约当块；
• 不稳定 ⇔ 存在实部为正的特征值。

Routh-Hurwitz判据

• 通过特征方程的系数构造Routh表；
• 第一列全正 ⇒ 系统稳定；
• 变号次数 = 右半平面根的数量。

例题7： 特征方程 $2s^6 + 5s^5 + 3s^4 + 4s^3 + 6s^2 + 14s + 7 = 0$

构造Routh表，第一列出现负号，说明有右半平面根，系统不稳定。

李雅普诺夫方程判据

• 系统渐近稳定 ⇔ 对任意 $Q > 0$，存在 $P > 0$ 满足：$$A^TP + PA = -Q$$
• 可通过求解李雅普诺夫方程判断稳定性。

例题8： 判定系统 $\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} x$ 的稳定性

取 $Q = I$，解李雅普诺夫方程得：

$$P = \begin{bmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1 \end{bmatrix} > 0$$

故系统渐近稳定。

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七、参数稳定性与稳定域

单参数稳定域

例题9： 单位负反馈系统，开环传递函数：

$$G_{\text{开}}(s) = \frac{k(\frac{1}{3}s + 1)}{s(s+1)(2s+1)}$$

特征方程：

$$2s^3 + 3s^2 + \left(1 + \frac{1}{3}k\right)s + k = 0$$

根据Routh判据：

$$\begin{cases} k > 0 \\ 3\left(1 + \frac{1}{3}k\right) > 2k \end{cases} \Rightarrow 0 < k < 3$$

双参数稳定域

例题10：

$$G_{\pi}(s) = \frac{k(\tau s + 1)}{s(s + 1)(2s + 1)}, \quad k, \tau > 0$$

特征方程：

$$2s^3 + 3s^2 + (1 + k\tau)s + k = 0$$

稳定条件：

$$\tau > \frac{2}{3} - \frac{1}{k}$$

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八、吸引域分析

对于非线性系统，确定吸引域是重要而困难的任务。

保守吸引域估计方法：
在 $\dot{V}(x) = 0$ 的边界上求 $V(x)$ 的最小值 $V_{\min}$，则

$$\{x | V(x) < V_{\min}\}$$

就是一个保守的吸引域。

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九、方法总结与对比

方法	适用系统	优点	缺点
间接法	非线性系统局部分析	计算简单	仅局部有效，对临界情况无效
二次型法	线性/轻度非线性	直观易用	对强非线性系统效果有限
克拉索夫斯基法	特定非线性系统	系统化构造	条件苛刻，保守性强
变量梯度法	一般非线性系统	结构化构造	计算复杂，需解偏微分方程
偶函数法	对称结构系统	简化符号判断	适用范围有限

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